miércoles, 7 de diciembre de 2011

Bibliografia de Ferdinand Georg Frobenius



Ferdinand Georg Frobenius (Charlottemburg 26 de octubre de 1849~Berlín 3 de agosto 1917) Matemático alemán reconocido por sus aportes a la teoría de las ecuaciones diferenciales y a la teoría de grupos; también por su profundización en el teorema de Cayley-Hamilton y su aporte al teorema planteado por Eugène Rouché llamado entonces teorema de Rouché-Frobenius.

Un sistema lineal de ecuaciones:


Puede ser descrito mediante una matriz:



Dicha matriz asociada al sistema; está obtenida por la yuxtaposición de la matriz



De los coeficientes y en una posterior columna



Llamada columna de términos notorios. Las matrices A y (A | b) son llamadas respectivamente incompleta (o de los coeficientes) y completa (o ampliada).

Los coeficientes de los sistemas lineales (y por ende de las matrices) son elementos de un cuerpo K, como podrían ser los números reales R o complejos C . Indicándose con rk(M) el rango de una matriz M. El enunciado del teorema de Rouché-Frobenius es el siguiente:

Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz completa es igual al rango de la matriz incompleta.

Entonces, si existen soluciones, éstas forman un subespacio afín de Kn de dimensiones n − rk(A). En particular, si el cuerpo K es infinito tenemos:
si rk(A) = n entonces la solución es única,
de otro modo existen infinitas posibles soluciones.

El sistema puede ser descrito de un modo más restringido, introduciendo el vector de las coordenadas






Y utilizando el producto matricial, del siguiente modo:

Ax = b

En otros términos, b es la imagen del vector x mediante la aplicación lineal




LA(x) = Ax

Entonces el sistema admite soluciones si y solo si b es la imagen de cualesquiera vector x de Kn, en otros términos si está en la imagen de LA. Por otro lado, la imagen de LA es generada desde los vectores dados a partir de las columnas. Entonces b es en la imagen si y solo si el span de las columnas A contiene b, esto es, si y sí el span de las columnas A es igual al span de las columnas de (A | b). Esta última afirmación es equivalente a pedir que las dos matrices posean el mismo rango.

Si existe una solución x, toda otra solución se escribe como x + v, donde v es una solución del sistema lineal homogéneo asociado:

Av = 0

En efecto:

A(x + v) = Ax + Av = b + o = b.

Las soluciones del sistema lineal homogéneo asociado son simplemente el núcleo de la aplicación LA. Para el teorema de la dimensión, el núcleo es un subespacio vectorial de dimensión n − rk(A)). Entonces el espacio de las soluciones, obtenido trasladando el núcleo con el vector x, es un subespacio afín de la misma dimensión.



Bibliografia de Leonhard Paul Euler



Leonhard Paul Euler  (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783).

Conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos.

Contribución a las matemáticas y otras aéreas científicas.

Introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia a la unidad imaginaria. El uso de la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.

Euler definió la constante matemática conocida como número e como aquel número real tal que el valor de su derivada (la pendiente de su línea tangente) en la función f(x) = ex en el punto x = 0 es exactamente 1. La función ex es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo neperiano, también llamado logaritmo natural o logaritmo en base e.
El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es como el límite:

Y también como la serie:

Además, Euler es muy conocido por su análisis y su frecuente utilización de la serie de potencias, es decir, la expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente:

Uno de los famosos logros de Euler fue el descubrimiento de la expansión de series de potencias de la función arco tangente. Su atrevido aunque, según los estándares modernos, técnicamente incorrecto uso de las series de potencias le permitieron resolver el famoso problema de Basilea en 1735,23 por el cual quedaba demostrado que:


Interpretación geométrica de la fórmula de Euler.
Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos, expandiendo enormemente el ámbito de la aplicación matemática de los logaritmos.24 También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Para cualquier número real φ, la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente fórmula:

Siendo un caso especial de la fórmula lo que se conoce como la identidad de Euler:

Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del mundo real a través del análisis matemático, en lo que se conoce como matemática aplicada, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el Método de Fluxión de Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, en particular mediante la introducción de la constante de Euler-Mascheroni:

Por otro lado, uno de los intereses más llamativos de Euler fue la aplicación de las ideas matemáticas sobre la música. En 1739 escribió su obra Tentamen novae theoriae musicae, esperando con ello poder incorporar el uso de las matemáticas a la teoría musical. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no atrajo demasiada atención del público, y llegó a ser descrita como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos



Bibliografia de Isaac Newton

Sir Isaac Newton (4 de enero de 1643 – 31 de marzo de 1727)

Físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los (Philosophiae naturalis principia mathematica), más conocidos como “Los Principia”, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica(que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.

Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.



Desarrollo del Cálculo.

De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity College. En 1669 su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasiana de matemática, puesto en el que Newton le sucedería hasta 1696. El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow, su "Analysis per aequationes número terminorum infinitos". Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.

Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.

Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.

Ley de la gravitación universal

Bernard Cohen afirma que “El momento culminante de la Revolución científica fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton de la ley de la gravitación universal.” Con una simple ley, Newton dio a entender los fenómenos físicos más importantes del universo observable, explicando las tres leyes de Kepler. La ley de la gravitación universal descubierta por Newton se escribe





donde F es la fuerza, G es una constante que determina la intensidad de la fuerza y que sería medida años más tarde por Henry Cavendish en su célebre experimento de la balanza de torsión, m1 y m2 son las masas de dos cuerpos que se atraen entre sí y r es la distancia entre ambos cuerpos, siendo el vector unitario que indica la dirección del movimiento (si bien existe cierta polémica acerca de que Cavendish hubiera medido realmente G, pues algunos estudiosos afirman que simplemente midió la masa terrestre).

La ley de gravitación universal nació en 1685 como culminación de una serie de estudios y trabajos iniciados mucho antes. En 1679 Robert Hooke introdujo a Newton en el problema de analizar una trayectoria curva. Cuando Hooke se convirtió en secretario de la Royal Society quiso entablar una correspondencia filosófica con Newton. En su primera carta planteó dos cuestiones que interesarían profundamente a Newton. Hasta entonces científicos y filósofos como Descartes y Huygens analizaban el movimiento curvilíneo con la fuerza centrífuga. Hooke, sin embargo, proponía "componer los movimientos celestes de los planetas a partir de un movimiento rectilíneo a lo largo de la tangente y un movimiento atractivo, hacia el cuerpo central." Sugiere que la fuerza centrípeta hacia el Sol varía en razón inversa al cuadrado de las distancias. Newton contesta que él nunca había oído hablar de esta hipótesis.

En otra carta de Hooke, escribe: “Nos queda ahora por conocer las propiedades de una línea curva... tomándole a todas las distancias en proporción cuadrática inversa.” En otras palabras, Hooke deseaba saber cuál es la curva resultante de un objeto al que se le imprime una fuerza inversa al cuadrado de la distancia. Hooke termina esa carta diciendo: “No dudo que usted, con su excelente método, encontrará fácilmente cuál ha de ser esta curva.”

En 1684 Newton informó a su amigo Edmund Halley de que había resuelto el problema de la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Newton redactó estos cálculos en el tratado De Motu y los desarrolló ampliamente en el libro Philosophiae naturalis principia mathematica. Aunque muchos astrónomos no utilizaban las leyes de Kepler, Newton intuyó su gran importancia y las engrandeció demostrándolas a partir de su ley de la gravitación universal.

Sin embargo, la gravitación universal es mucho más que una fuerza dirigida hacia el Sol. Es también un efecto de los planetas sobre el Sol y sobre todos los objetos del Universo. Newton intuyó fácilmente a partir de su tercera ley de la dinámica que si un objeto atrae a un segundo objeto, este segundo también atrae al primero con la misma fuerza. Newton se percató de que el movimiento de los cuerpos celestes no podía ser regular. Afirmó: “los planetas ni se mueven exactamente en elipses, ni giran dos veces según la misma órbita”. Para Newton, ferviente religioso, la estabilidad de las órbitas de los planetas implicaba reajustes continuos sobre sus trayectorias impuestas por el poder divino.



Las leyes de la Dinámica

Otro de los temas tratados en los Principia fueron las tres leyes de la dinámica o leyes de Newton, en las que explicaba el movimiento de los cuerpos así como sus efectos y causas. Éstas son:

§ La primera ley de Newton o ley de la inercia

"Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado por fuerzas externas a cambiar su estado"

En esta ley, Newton afirma que un cuerpo sobre el que no actúan fuerzas externas (o las que actúan se anulan entre sí) permanecerá en reposo o moviéndose a velocidad constante.

Esta idea, que ya había sido enunciada por Descartes y Galileo, suponía romper con la física aristotélica, según la cual un cuerpo sólo se mantenía en movimiento mientras actuara una fuerza sobre él.

La segunda ley de Newton o ley de la interacción y la fuerza

"El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz externa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime"

Esta ley explica las condiciones necesarias para modificar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. Según Newton estas modificaciones sólo tienen lugar si se produce una interacción entre dos cuerpos, entrando o no en contacto (por ejemplo, la gravedad actúa sin que haya contacto físico). Según la segunda ley, las interacciones producen variaciones en el momento lineal, a razón de  




Siendo F la fuerza dp, el diferencial del momento lineal, dt el diferencial del tiempo.

La segunda ley puede resumirse en la fórmula 





Siendo F  la fuerza (medida en newtons) que hay que aplicar sobre un cuerpo de masa m para provocar una aceleración.

La tercera ley de Newton o ley de acción-reacción

"Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria; las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentidos opuestos"

Esta ley se refleja constantemente en la naturaleza: se tiene una sensación de dolor al golpear una mesa, puesto que la mesa ejerce una fuerza sobre ti con la misma intensidad; el impulso que consigue un nadador al ejercer una fuerza sobre el borde de la piscina, siendo la fuerza que le impulsa la reacción del borde a la fuerza que él está ejerciendo.

TEORÍA DEL CAOS


La Teoría del caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas que trata ciertos tipos de comportamientos impredecibles de los sistemas dinámicos. Pero,¿qué es un sistema dinámico? Un sistema dinámico es un sistema complejo que presenta un cambio en su estado al pasar un cierto tiempo.Los sistemas dinámicos se pueden clasificar en tres grandes grupos:

  • Estables: Un sistema estable es el que a lo largo del tiempo tiende a una órbita.
  • Inestables: Que escapa de todo punto u órbita.
  • Caóticos: De los que me ocupare en gran medida en esta entrada. Son los que presentan los dos comportamientos anteriores.

Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales, y esto se transmite a los sistemas caóticos.¿Qué quiere decir esto? que una pequeña variación(aunque sea infinitesimal) da lugar a una evolución totalmente diferente del sistema a lo largo del tiempo.Y la idea de esta teoría es que en determinados sistemas naturales, pequeños cambios en las condiciones iniciales conducen a enormes discrepancias en los resultados, como explicamos en ésta entrada.

Para que un sistema dinámico, sea clasificado como caótico, a parte de cumplir la condición anterior, debe cumplir otras tres cualidades que enuncio como simple curiosidad:

  1. Debe ser sensible a las condiciones iniciales.
  2. Debe ser transitivo.
  3. Las órbitas deben formar un conjunto denso dentro del retrato de fases.
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Pero dejémonos de formalidades y vamos al meollo de la cuestión. La Teoría del Caos, puede inducir bastante a error por su nombre. En primer lugar, aun no se la puede denominar “teoría” en sí, pues es una linea de investigación abierta,y no esta ni tan siquiera cerca de estar terminada. En segundo lugar, en una jerga “no matemática”, caos suele significar ausencia de orden, mientras que en el ámbito en el que nos encontramos ahora, viene a significar algo así, como un orden de características impredecibles.

En Teoría del Caos los sistemas dinámicos son estudiados a partir de su “Retrato de fases”, es decir, la representación coordenada de sus variables independientes en función de las condiciones iniciales de la/las ecuaciones tratadas. En estos sistemas caóticos, es fácil encontrar trayectorias de movimiento no periódico, pero cuasi-periódicas, como en el ejemplo de la foto de arriba.

Pero no puede haber una entrada que hable de la Teoría del Caos, sin hablar de “Atractores extraños”. El movimiento caótico está ligado a estos de manera única,y no son más que atractores que pueden llegar a tener una enorme complejidad, siendo atractores, respulsores, ambas cosas al mismo tiempo…

Y terminaremos esta entrada hablando de aplicaciones de esta teoría en el mundo real:

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En Internet se desarrolla este concepto en Teoría del Caos, el tercer paradigma, de como la estadística inferencial trabaja con modelos aleatorios para crear series caóticas predictoras para el estudio de eventos presumiblemente caóticos en las Ciencias Sociales. Por esta razón la Teoría del Caos ya no es en sí una teoría: tiene postulados, fórmulas y parámetros recientemente establecidos con aplicaciones.

El clima, además de ser un sistema dinámico, es muy sensible a los cambios en las variables iniciales, es un sistema transitivo y también sus órbitas periódicas son densas, lo que hace del clima un sistema apropiado para trabajarlo con matemática caótica. La precisión de las predicciones meteorológicas es relativa, y los porcentajes anunciados tienen poco significado sin una descripción detallada de los criterios empleados para juzgar la exactitud de una predicción.

Antes de la aparición de la Teoría del Caos, se pensaba que para que el clima llegara a predecirse con exactitud newtoniana no era más que una cuestión de introducir más y más variables en un ordenador lo suficientemente potente como para procesarlas.


                   
Vídeos relacionados sobre la teoría del caos

            







viernes, 2 de diciembre de 2011

Resonancia Magnetica

        Resonancia Magnética

La resonancia magnética nuclear (RMN) es un fenómeno físico basado en las propiedades mecánico-cuánticas de los núcleos atómicos. RMN también se refiere a la familia de métodos científicos que explotan este fenómeno para estudiar moléculas (espectroscopia de RMN), macromoléculas (RMN biomolecular), así como tejidos y organismos completos (imagen por resonancia magnética).

Todos los núcleos que poseen un número impar de protones o neutrones tienen un momento magnético y un momento angular intrínseco, en otras palabras, tienen un espín > 0. Los núcleos más comúnmente empleados en RMN son el protón (1H, el isótopo más sensible en RMN después del inestable tritio, 3H), el 13C y el 15N, aunque los isótopos de núcleos de muchos otros elementos (2H, 10B, 11B, 14N, 17O, 19F, 23Na, 29Si, 31P, 35Cl, 113Cd, 195Pt) son también utilizados.

La resonancia magnética hace uso de las propiedades de resonancia aplicando radiofrecuencias a los átomos o dipolos entre los campos alineados de la muestra, y permite estudiar la información estructural o química de una muestra. La RM se utiliza también en el campo de la investigación de ordenadores cuánticos. Sus aplicaciones más frecuentes se encuentran ligadas al campo de la medicina, la bioquímica y la química orgánica. Es común denominar "resonancia magnética" al aparato que obtiene imágenes por resonancia magnética (MRI, por las siglas en inglés de "Magnetic Resonance Imaging").

PRINCIPIO FISICO

Espín nuclear

Las partículas elementales que componen al núcleo atómico (neutrones y protones), tienen la propiedad mecánico-cuántica intrínseca del espín. El espín de un núcleo está determinado por el número cuántico del espín I. Si el número combinado de protones y neutrones en un isótopo dado es par, entonces I = 0, i. e. no existe un espín general; así como los electrones se aparean en orbitales atómicos, de igual manera se asocian neutrones y protones en números pares (que también son partículas de espín ½ y por lo tanto son fermiones) para dar un espín general = 0.
Un espín distinto a cero, I, está asociado a un momento magnético distinto a cero, μ:


En donde γ es la proporción giromagnética. Esta constante indica la intensidad de la señal de cada isótopo usado en RMN.

Valores del momento angular del espín

El momento angular asociado al espín nuclear esta cuantizado. Esto significa que tanto la magnitud como la orientación del momento angular están cuantizadas (i.e. I solo puede tomar valores en un intervalo restringido). El número cuántico asociado se conoce como número cuántico magnético, m, y puede tomar valores enteros desde +I hasta -I. Por lo tanto, para cualquier núcleo, existe un total de 2I+1 estados de momento angular.

El componente z del vector de momento angular, Iz, es por lo tanto:



 En la que  es la constante de Planck reducida.
El componente z del momento magnético es simplemente:

Comportamiento del espín en un campo magnético
Consideremos un núcleo que posee un espín de ½, como 1H, 13C o 19F. Este núcleo tiene dos estados posibles de espín: m = ½ o m = -½ (que también se les llama 'arriba' y 'abajo', o α y β, respectivamente). Las energías de estos dos estados son degeneradas —lo cual significa que son las mismas. Por lo tanto las poblaciones de estos dos estados (i.e. el número de átomos en los dos estados) serán aproximadamente iguales en condiciones de equilibrio térmico.
Sin embargo, al poner este núcleo bajo un campo magnético, la interacción entre el momento magnético nuclear y el campo magnético externo promoverá que los dos estados de espín dejen de tener la misma energía. La energía del momento magnético μ bajo la influencia del campo magnético B0 (el subíndice cero se utiliza para distinguir este campo magnético de cualquier otro campo magnético utilizado) está dado por el producto escalar negativo de los vectores:

En el que el campo magnético ha sido orientado a lo largo del eje z.
Por lo tanto:

Como resultado, los distintos estados nucleares del espín tienen diferentes energías en un campo magnético ≠ 0. En otras palabras, podemos decir que los dos estados del espín de un espín ½ han sido alineados ya sea a favor o en contra del campo magnético. Si γ es positiva (lo cual es cierto para la mayoría de los isótopos) entonces m = ½ está en el estado de baja energía.
La diferencia de energía entre los dos estados es:

Y esta diferencia se traduce en una pequeña mayoría de espines en el estado de baja energía.
La absorción de resonancia ocurre cuando esta diferencia de energía es excitada por radiación electromagnética de la misma frecuencia. La energía de un fotón es E = hν, donde ν es su frecuencia. Por lo tanto la absorción ocurrirá cuando:

Estas frecuencias corresponden típicamente al intervalo de radiofrecuencias del espectro electromagnético. Esta es la absorción de resonancia que se detecta en RMN.

Digitalización mediante transformada de Fourier

Con la desalineación de los espines, es decir, la recuperación natural de la dirección y sentido de éstos una vez sometidos a la radiación electromagnética, generará unas emisiones a consecuencia de la liberación energética, los cuales serán captados por la antena receptora del escáner. Estas emisiones han de ir en concordancia con la Dim-Fase, siendo la compilación de todas estas emisiones el principio de la resonancia magnética.
Una vez finalizada toda la extracción de datos se procederá al trato de las mismas en el dominio de la frecuencia mediante el empleo de la transformada de Fourier, la cual nos facilitará la reconstrucción de la imagen final por pantalla. La frecuencia de la variación de una señal en el espacio se denomina "K", es decir, los datos compilados en el dominio de las frecuencias espaciales se denomina espacio K.
La finalidad de la creación de este espacio es poder aplicar las leyes matemáticas de Fourier, lo que permite identificar el lugar de procedencia de las emisiones en un determinado momento y, por lo tanto, su lugar de procedencia.




 

                                               Teoria del Big Bang 




La teoría del Big Bang o teoría de la gran explosión es un modelo científico que trata de explicar el origen del Universo y su desarrollo posterior a partir de una singularidad espaciotemporal. Técnicamente, este modelo se basa en una colección de soluciones de las ecuaciones de la relatividad general, llamados modelos de Friedmann- Lemaître - Robertson - Walker. El término "Big Bang" se utiliza tanto para referirse específicamente al momento en el que se inició la expansión observable del Universo. De la observación de galaxias y quasares lejanos se desprende la idea de que estos objetos experimentan un corrimiento hacia el rojo, lo que quiere decir que la luz que emiten se ha desplazado proporcionalmente hacia longitudes de onda más largas. Esto se comprueba tomando el espectro de los objetos y comparando, después, el patrón espectroscópico de las líneas de emisión o absorción correspondientes a átomos de los elementos que interactúan con la radiación. En este análisis se puede apreciar cierto corrimiento hacia el rojo, lo que se explica por una velocidad recesional correspondiente al efecto Doppler en la radiación. Al representar estas velocidades recesionales frente a las distancias respecto a los objetos, se observa que guardan una relación lineal, conocida como Ley de Hubble:



donde v es la velocidad recesional, D es la distancia al objeto y H0 es la constante de Hubble, que el satélite WMAP estimó en 71 ± 4 km/s/Mpc.
El valor del parámetro de Hubble cambia con el tiempo aumentando o disminuyendo dependiendo del signo del parámetro de deceleración q , que viene definido por:

Podemos definir la "edad de Hubble" (también conocido como el "tiempo de Hubble" o el "periodo de Hubble") del universo como 1/H0, o 978000 millones de años/[H0/(km/s/Mpc)]. La edad de Hubble es de 14000 millones de años para H0=70 km/s/Mpc, o 13800 millones de años para H0=71 km/s/Mpc. La distancia a una galaxia es aproximadamente zc/H0 para pequeños desplazamientos al rojo z y expresando c como 1 año luz por año, esta distancia puede expresarse simplemente como z veces 13800 millones de años luz.
Durante mucho tiempo se pensó que q era positiva, indicando que la expansión se estaba ralentizando debido a la atracción gravitacional. Esto implicaría una edad del universo menor que 1/H (que es de unos 14000 millones de años). Por ejemplo, un valor de q de 1/2 (considerado por muchos teóricos) daría una edad del universo de 2/(3H). El descubrimiento en 1998 que q es aparentemente negativo significa que el universo podría realmente ser más viejo que 1/H. De hecho, las estimaciones de la edad del universo están, casualmente, muy cercanas a 1/H.