Bibliografia de Ferdinand Georg Frobenius

Ferdinand Georg Frobenius (Charlottemburg 26 de octubre de 1849~Berlín 3 de agosto 1917) Matemático alemán reconocido por sus aportes a la teoría de las ecuaciones diferenciales y a la teoría de grupos; también por su profundización en el teorema de Cayley-Hamilton y su aporte al teorema planteado por Eugène Rouché llamado entonces teorema de Rouché-Frobenius.

Un sistema lineal de ecuaciones:


Puede ser descrito mediante una matriz:



Dicha matriz asociada al sistema; está obtenida por la yuxtaposición de la matriz



De los coeficientes y en una posterior columna



Llamada columna de términos notorios. Las matrices A y (A | b) son llamadas respectivamente incompleta (o de los coeficientes) y completa (o ampliada).

Los coeficientes de los sistemas lineales (y por ende de las matrices) son elementos de un cuerpo K, como podrían ser los números reales R o complejos C . Indicándose con rk(M) el rango de una matriz M. El enunciado del teorema de Rouché-Frobenius es el siguiente:

Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz completa es igual al rango de la matriz incompleta.

Entonces, si existen soluciones, éstas forman un subespacio afín de Kn de dimensiones n − rk(A). En particular, si el cuerpo K es infinito tenemos:
si rk(A) = n entonces la solución es única,
de otro modo existen infinitas posibles soluciones.

El sistema puede ser descrito de un modo más restringido, introduciendo el vector de las coordenadas






Y utilizando el producto matricial, del siguiente modo:

Ax = b

En otros términos, b es la imagen del vector x mediante la aplicación lineal




LA(x) = Ax

Entonces el sistema admite soluciones si y solo si b es la imagen de cualesquiera vector x de Kn, en otros términos si está en la imagen de LA. Por otro lado, la imagen de LA es generada desde los vectores dados a partir de las columnas. Entonces b es en la imagen si y solo si el span de las columnas A contiene b, esto es, si y sí el span de las columnas A es igual al span de las columnas de (A | b). Esta última afirmación es equivalente a pedir que las dos matrices posean el mismo rango.

Si existe una solución x, toda otra solución se escribe como x + v, donde v es una solución del sistema lineal homogéneo asociado:

Av = 0

En efecto:

A(x + v) = Ax + Av = b + o = b.

Las soluciones del sistema lineal homogéneo asociado son simplemente el núcleo de la aplicación LA. Para el teorema de la dimensión, el núcleo es un subespacio vectorial de dimensión n − rk(A)). Entonces el espacio de las soluciones, obtenido trasladando el núcleo con el vector x, es un subespacio afín de la misma dimensión.