Leonhard Paul Euler (Basilea, Suiza, 15
de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783).
Conocido como Leonhard Euler, fue
un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII
y uno de los más grandes de todos los tiempos.
Contribución a las matemáticas y otras aéreas científicas.
Introdujo la notación
moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo
natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler),
la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia
a la unidad imaginaria. El uso de la letra griega π para hacer referencia al
cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro
también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese
símbolo.
Euler definió la
constante matemática conocida como número e como aquel número real
tal que el valor de su derivada
(la pendiente de su línea tangente) en la función f(x) = ex en el punto x = 0 es exactamente 1. La
función ex es
también llamada función exponencial y su función inversa
es el logaritmo neperiano, también llamado
logaritmo natural o logaritmo en base e.
El número e puede ser representado como un número real
en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito,
una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal
de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo,
es como el límite:
Y también como la
serie:
Además, Euler es muy
conocido por su análisis y su frecuente utilización de la serie de potencias, es decir, la
expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente:
Uno de los famosos
logros de Euler fue el descubrimiento de la expansión de series de potencias de
la función arco tangente. Su atrevido aunque, según los
estándares modernos, técnicamente incorrecto uso de las series de potencias le
permitieron resolver el famoso problema de Basilea en 1735,23
por el cual quedaba demostrado que:
Interpretación geométrica de la
fórmula de Euler.
Euler introdujo el
uso de la función exponencial y de los logaritmos
en las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias
funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito
logaritmos para números negativos y complejos,
expandiendo enormemente el ámbito de la aplicación matemática de los
logaritmos.24
También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su
relación con las funciones trigonométricas.
Para cualquier número real φ, la fórmula de Euler establece que la
función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente fórmula:
Siendo un caso
especial de la fórmula lo que se conoce como la identidad de Euler:
Algunos
de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del mundo
real a través del análisis matemático, en lo que se conoce como matemática aplicada, y en la descripción de
numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e
y π, las fracciones continuas y
las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz
con el Método de Fluxión de Newton, y desarrolló herramientas que hacían más
fácil la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las
ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de
Euler-Lagrange.
Hizo
grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver
integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las
más notables de estas aproximaciones son el método de Euler para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias,
y la fórmula de
Euler-Maclaurin.
Este método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente
y hallando la siguiente imagen con la derivada.
También facilitó el uso de ecuaciones
diferenciales,
en particular mediante la introducción de la constante de
Euler-Mascheroni:
Por
otro lado, uno de los intereses más llamativos de Euler fue la aplicación de
las ideas matemáticas sobre la música.
En 1739
escribió su obra Tentamen novae
theoriae musicae, esperando con ello poder incorporar el uso de las
matemáticas a la teoría musical. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no atrajo
demasiada atención del público, y llegó a ser descrita como demasiado
matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos
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